a) Góc ACB = 180 - 90 - 60 = 30 độ.
Ta có:
- BC = AC * sin(60) / sin(30) = AC * √3 / 2.
- AB = AC * sin(30) / sin(60) = AC / 2.
Vậy ta có: BC = 2AB.

b) Ta có: AM = MC (do M là trung điểm của AC) và góc AMC = 90 độ (do AM vuông góc với BC).
Vậy tam giác AIM = tam giác CIM (cạnh góc cạnh).

c) Ta có: góc AIB = 180 - góc AIM - góc CIM = 180 - 2 * 90 = 0 độ.
Vậy tam giác AIB là tam giác đều.

d) Ta có:
- Theo định lí Menelaus trong tam giác ABC và đường thẳng BMG ta có: BG/AG * AI/IC * CM/BM = 1.
- Vì AM = MC nên CM/BM = 1.
- Vì tam giác AIB là tam giác đều nên AI = IB.
- Gọi IG = x, ta có BG = 6x, AG = 2x, AI = IB = 3x.
- Từ đó suy ra: 6/2 * 3/x * 1 = 1 => x = 1.
- Vậy BC = 6 * IG.

Vậy ta đã chứng minh được các phần đề bài cần chứng minh.