Ta có tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
- \(BE = BH \cdot \frac{AB}{BC}\) (1)
- \(CF = CH \cdot \frac{AC}{BC}\) (2)
- \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) (3)

Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có: \(HB^2 + HC^2 = BC^2\)

Kết hợp với (1) và (2) ta có:
\(BE \cdot BA + CF \cdot CA = BH \cdot AB + CH \cdot AC = BH \cdot AB \cdot \frac{BC}{BC} + CH \cdot AC \cdot \frac{BC}{BC} = BC^2\)

Vậy ta đã chứng minh được phần a.

Để chứng minh phần b, ta có:
\(\frac{BE}{CF} = \frac{BH \cdot \frac{AB}{BC}}{CH \cdot \frac{AC}{BC}} = \frac{BH}{CH} \cdot \frac{AB}{AC} = \frac{AB^2}{AC^2}\)

Vậy ta đã chứng minh được phần b.

Để chứng minh phần c, ta có:
\(BK/BD = (BK/BD) \cdot (DA/DC) = (AB/AH) \cdot (DA/DC) = (AB/AC) \cdot (AC/AH) \cdot (DA/DC) = (AB/AC) \cdot (BC/BC) \cdot (DA/DC) = (AB/AC) \cdot (BC/BC) \cdot (DC/DA) = DA/DC\)

Vậy ta đã chứng minh được phần c.