a) Ta có:
$\angle AED = \angle ABD$ (do AE // BD)
$\angle AHD = \angle ACD$ (do AH // CD)
$\angle AED + \angle AHD = \angle ABD + \angle ACD = 180^\circ$ (do ABCD là tứ giác nội tiếp)
Vậy tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp.

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD. Ta có:
$\angle AOD = 2\angle AED = 2\angle ABD = \angle ACD = \angle AHD$
Vậy ta có tứ giác AOHĐ là tứ giác nội tiếp, suy ra O nằm trên đường thẳng DH.

b) Ta có:
$\frac{AF}{FD} = \frac{AE}{ED}$ (do AF // DE)
$\frac{FH}{FE} = \frac{AH}{AE}$ (do FH // AE)
Kết hợp hai tỉ số trên ta có:
$\frac{AF}{FD} \cdot \frac{FH}{FE} = \frac{AE}{ED} \cdot \frac{AH}{AE} = \frac{AH}{ED} = 1$
Vậy $AF \cdot FH = FD \cdot FE$

c) Ta có I là trung điểm của ED, K là trung điểm của BC, suy ra IK // DE // AB.
Gọi M là giao điểm của IK và AH. Ta có IM = MK (do I, K là trung điểm của ED, BC) và AM = MH (do AH // BC).
Vậy ta có tam giác AMH là tam giác đều, suy ra $\angle AMH = 60^\circ$.
Tương tự, ta có $\angle AOH = 60^\circ$.
Vậy ta có $\angle AMH = \angle AOH$, suy ra ba điểm O, I, K thẳng hàng.