Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tia phân giác góc B cắt AC tại E và cắt (O) tại điểm thứ hai là D

a) Ta có:
$\angle ABE = \angle ABD$ (vì EB là tia phân giác của $\angle ABC$)
$\angle AEB = \angle ADB$ (cùng chắn cung AD trên (O))
$\Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ABD$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{BD}{BE}$
$\Rightarrow AB.BE = BD.BE$
$\Rightarrow BABC = BD.BE$

b) Ta có:
$\angle EGF = \angle EDF$ (cùng chắn cung EF trên (O))
$\angle EFG = \angle EDB$ (cùng chắn cung EB trên (O))
$\Rightarrow \triangle EFG \sim \triangle EDB$
$\Rightarrow \dfrac{EG}{ED} = \dfrac{EF}{EB}$
$\Rightarrow EG. EB = ED. EF$

Vậy ta có tứ giác BFGH là tứ giác nội tiếp.

Ta có:
$\angle HGB = \angle HFB$ (cùng chắn cung HF trên (O))
$\angle HBG = \angle HFD$ (cùng chắn cung HD trên (O))
$\Rightarrow \triangle HGB \sim \triangle HFB$
$\Rightarrow \angle HGB = \angle HFB$
$\Rightarrow HG // AF$

c) Ta có:
$\angle KFB = \angle KDB$ (cùng chắn cung KD trên (O))
$\angle KBF = \angle KDF$ (cùng chắn cung KF trên (O))
$\Rightarrow \triangle KFB \sim \triangle KDB$
$\Rightarrow \angle KFB = \angle KDB$
$\Rightarrow AF L BK$

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.