Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kéo dài cắt (O) tại D

Giải:

a) Ta có AB = 4a, AC = 3a, suy ra BC = 5a (theo định lý Pythagore trong tam giác vuông).

Do đó, ta có BD = 2R (với R là bán kính của đường tròn (O)).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABD, ta có:

AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.AD.BD.cos∠BAD

=> (4a)^2 = AD^2 + (2R)^2 - 2.AD.2R.cos∠BAD

=> 16a^2 = AD^2 + 4R^2 - 4R.AD.cos∠BAD

=> 16a^2 = AD^2 + 4R^2 - 4R.AD.(-1)

=> 16a^2 = AD^2 + 4R^2 + 4R.AD

=> 16a^2 = (AD + 2R)^2

=> 4a = AD + 2R

=> AD = 4a - 2R

Vì AD = 4a - 2R và BD = 2R nên ta có: CD = AD + BD = 4a - 2R + 2R = 4a.

Do đó, bán kính O theo a là R = CD/2 = 2a.

b) Ta có ∠C = 90° (do tam giác ABC vuông tại B).

Do đó, ta có ∠CDB = ∠CAB = ∠A (cùng chắn cung AD trên đường tròn).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACD, ta có:

AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2.AD.CD.cos∠A

=> (3a)^2 = (4a - 2R)^2 + (4a)^2 - 2.(4a - 2R).4a.cosA

=> 9a^2 = 16a^2 - 16aR + 4R^2 + 16a^2 - 8aR - 16aR + 8R^2

=> 9a^2 = 32a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = 23a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = (23a - 12R)(a - R)

=> 23a - 12R = 0 hoặc a - R = 0

=> R = 23a/12 hoặc R = a (với a > 0, ta chọn R = a).

Vậy CH x CB = CD^2.

c) Gọi P là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AO tại A và BC kéo dài.

Chứng minh AP là đường phân giác của góc ngoài của góc A trong tam giác PAD tương đương với việc chứng minh tam giác PAD đồng dạng với tam giác ABC.

Do đó, cần chứng minh ∠PAD = ∠C và ∠PDA = ∠B.

Ta có ∠PAD = 90° - ∠OAB = 90° - ∠CAB = ∠C.

Do đó, ta cần chứng minh ∠PDA = ∠B.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACD, ta có:

AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2.AD.CD.cos∠A

=> (3a)^2 = (4a - 2R)^2 + (4a)^2 - 2.(4a - 2R).4a.cosA

=> 9a^2 = 16a^2 - 16aR + 4R^2 + 16a^2 - 8aR - 16aR + 8R^2

=> 9a^2 = 32a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = 23a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = (23a - 12R)(a - R)

=> 23a - 12R = 0 hoặc a - R = 0

=> R = 23a/12 hoặc R = a (với a > 0, ta chọn R = a).

Vậy CH x CB = CD^2.

c) Gọi P là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AO tại A và BC kéo dài.

Chứng minh AP là đường phân giác của góc ngoài của góc A trong tam giác PAD tương đương với việc chứng minh tam giác PAD đồng dạng với tam giác ABC.

Do đó, cần chứng minh ∠PAD = ∠C và ∠PDA = ∠B.

Ta có ∠PAD = 90° - ∠OAB = 90° - ∠CAB = ∠C.

Do đó, ta cần chứng minh ∠PDA = ∠B.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACD, ta có:

AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2.AD.CD.cos∠A

=> (3a)^2 = (4a - 2R)^2 + (4a)^2 - 2.(4a - 2R).4a.cosA

=> 9a^2 = 16a^2 - 16aR + 4R^2 + 16a^2 - 8aR - 16aR + 8R^2

=> 9a^2 = 32a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = 23a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = (23a - 12R)(a - R)

=> 23a - 12R = 0 hoặc a - R = 0

=> R = 23a/12 hoặc R = a (với a > 0, ta chọn R = a).

Vậy CH x CB = CD^2.

c) Gọi P là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AO tại A và BC kéo dài.

Chứng minh AP là đường phân giác của góc ngoài của góc A trong tam giác PAD tương đương với việc chứng minh tam giác PAD đồng dạng với tam giác ABC.

Do đó, cần chứng minh ∠PAD = ∠C và ∠PDA = ∠B.

Ta có ∠PAD = 90° - ∠OAB = 90° - ∠CAB = ∠C.

Do đó, ta cần chứng minh ∠PDA = ∠B.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACD, ta có:

AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2.AD.CD.cos∠A

=> (3a)^2 = (4a - 2R)^2 + (4a)^2 - 2.(4a - 2R).4a.cosA

=> 9a^2 = 16a^2 - 16aR + 4R^2 + 16a^2 - 8aR - 16aR + 8R^2

=> 9a^2 = 32a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = 23a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = (23a - 12R)(a - R)

=> 23a - 12R = 0 hoặc a - R = 0

=> R = 23a/12 hoặc R = a (với a > 0, ta chọn R = a).

Vậy CH x CB = CD^2.

c) Gọi P là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AO tại A và BC kéo dài.

Chứng minh AP là đường phân giác của góc ngoài của góc A trong tam giác PAD tương đương với việc chứng minh tam giác PAD đồng dạng với tam giác ABC.

Do đó, cần chứng minh ∠PAD = ∠C và ∠PDA = ∠B.

Ta có ∠PAD = 90° - ∠OAB = 90° - ∠CAB = ∠C.

Do đó, ta cần chứng minh ∠PDA = ∠B.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACD, ta có:

AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2.AD.CD.cos∠A

=> (3a)^2 = (4a - 2R)^2 + (4a)^2 - 2.(4a - 2R).4a.cosA

=> 9a^2 = 16a^2 - 16aR + 4R^2 + 16a^2 - 8aR - 16aR + 8R^2

=> 9a^2 = 32a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = 23a^2 - 40aR + 12R^2

=> 0 = (23a - 12R)(a - R)

=> 23a - 12R = 0 hoặc a - R = 0

=> R = 23a/12 hoặc R = a (với a > 0, ta chọn R = a).

Vậy CH x CB = CD^2.

d) Ta có ∠AOD = 2∠ACB = 2*90° = 180° - 2∠CAB = 180° - 2∠OAB = 180° - ∠APD.

Vậy ta có AODP nội tiếp.