a) Ta có AM=AB và góc AMD = góc ABD (cùng là góc nhọn nằm ngoài tam giác ABC), nên tam giác AMD = tam giác ABD theo đẳng thức cạnh-góc-cạnh.

b) Gọi I là giao điểm của AD và BM. Ta cần chứng minh BM = 2*IM và góc BIM = 90 độ.
Ta có AM = AB và góc AMD = góc ABD, nên tam giác AMD = tam giác ABD theo đẳng thức cạnh-góc-cạnh.
Do đó, AD = BD và góc MAD = góc BAD.
Khi đó, ta có góc BIM = góc BAD = góc MAD = góc MAB = góc MBA.
Vậy ta có tam giác BIM cân tại I, nên BM = 2*IM và góc BIM = 90 độ.

c) Gọi K là trung điểm của AM, P là giao điểm của KB và tia đối của KB. Ta cần chứng minh KB = KP và MP // AB.
Ta có AM = 2*MK (do K là trung điểm của AM) và KB = KP (do K là trung điểm của KP), nên tam giác KMP là tam giác đều.
Vì tam giác KMP là tam giác đều, nên MP // KP và MP = KP.
Do đó, ta có MP // AB.

d) Gọi E là điểm trên tia đối của MP sao cho MP = ME. Ta cần chứng minh ba điểm A, I, E thẳng hàng.
Ta có MP = ME, BM = 2*IM và góc BIM = 90 độ (theo b), nên tam giác BME là tam giác vuông cân tại M.
Vậy góc MBE = góc MEB = 45 độ.
Do đó, góc ABE = 90 - 45 = 45 độ.
Vì góc ABE = góc ABD = góc MAD, nên ba điểm A, I, E thẳng hàng.