Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp đường tròn (O). BE, CF là các đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H (E thuộc AC, F thuộc AB) K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. Đoạn thẳng KA cắt đường tròn (O) tại M. Gọi I là trung điểm ..

a) Ta có:
$\angle BEC = 90^\circ$ (do BE là đường cao của tam giác ABC)
$\angle BFC = 90^\circ$ (do CF là đường cao của tam giác ABC)
Do đó, tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle KEF = \angle KBF$ (cùng chắn cung KM trên đường tròn (O))
$\angle KFE = \angle KCE$ (cùng chắn cung KM trên đường tròn (O))
$\angle KEF + \angle KFE = \angle KBF + \angle KCE = 180^\circ$ (tứ giác BCEF nội tiếp)
Vậy tứ giác KEFM là tứ giác điều hòa.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác KEFM ta có:
$KE \cdot MF + KF \cdot ME = KM \cdot EF$
$KE \cdot KF = KM \cdot EF$ (vì $ME = MF$)
$KE \cdot KF = KM \cdot KA$ (vì $EF = KA$)
Vậy $KE \cdot KF = KM \cdot KA$.

Ta có:
$\angle KHI = \angle KFE = \angle KCE = \angle KCI$ (cùng chắn cung KM trên đường tròn (O))
Vậy ba điểm M, H, I thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.