Để tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, ta cần tính tổng diện tích của tất cả các mặt.

Vì hình hộp có 6 mặt là hình thoi bằng nhau, nên diện tích của mỗi mặt là diện tích của hình thoi đó.

Để tính diện tích của hình thoi, ta có công thức: Diện tích = $\frac{d_1 \times d_2}{2}$, trong đó $d_1$ và $d_2$ lần lượt là đường chéo lớn và nhỏ của hình thoi.

Với hình thoi có cạnh bằng 5 cm và góc BAD = 60 độ, ta có thể tính được đường chéo lớn và nhỏ như sau:
- Đường chéo lớn: $d_1 = 2 \times 5 = 10$ cm
- Đường chéo nhỏ: $d_2 = 2 \times 5 \times \sin(60^\circ) = 2 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ cm

Vậy diện tích của mỗi mặt hình thoi là: $S = \frac{10 \times 5\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ cm$^2$

Do đó, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: $6 \times 25\sqrt{3} = 150\sqrt{3}$ cm$^2$.