Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AM là đường cao của tam giác ABC.
- Vì BM là đường phân giác trong tam giác ABC nên BD là đường phân giác trong tam giác ABA.
- Vậy ta có: $\angle ABD = \angle BAD = \angle BAC$.
- Mà $\angle BAC = \angle BAH$ nên tam giác ABD đồng dạng với tam giác ABH.
- Từ đó suy ra: $\angle AHB = \angle ADB$.
- Ta có: $\angle ADB = \angle ADM = \angle AKM$.
- Vậy ta có: $\angle AHB = \angle AKM$.
- Tương tự, ta cũng có: $\angle AHB = \angle AKM = \angle AMK$.
- Vậy ta có: $\angle AMK = \angle AKM = \angle BAH$.
- Từ đó suy ra: tam giác AMK đồng dạng với tam giác BAH.
- Vậy ta có: $\dfrac{AK}{AH} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AM}{AD}$.
- Mà $\angle AKM = \angle AMK = \angle BAH$ nên tam giác AKM đồng dạng với tam giác BAH.
- Từ đó suy ra: $\angle AKM = \angle BAH = \angle BAC$.
- Vậy ta có: $\angle AKM = \angle BAC$.
- Từ đó suy ra: tam giác AKM đồng dạng với tam giác ABC.
- Vậy ta có: $\angle KAM = \angle ACB$.
- Mà $\angle KAM = \angle KDM$ nên tam giác KDM đồng dạng với tam giác ACB.
- Từ đó suy ra: $\angle KDM = \angle ACB$.
- Vậy ta có: $\angle KDM = \angle ACB$.
- Từ đó suy ra: tam giác KDM đồng dạng với tam giác ABC.
- Vậy ta có: $\angle KDM = \angle ABC$.
- Mà $\angle KDM = \angle KDH$ nên tam giác KDH đồng dạng với tam giác ABC.
- Từ đó suy ra: $\angle KDH = \angle ABC$.
- Vậy ta có: $\angle KDH = \angle ABC$.
- Từ đó suy ra: tam giác KDH đồng dạng với tam giác ABC.
- Vậy ta có: $\angle KDH = \angle ABC$.
- Mà $\angle KDH = \angle DHM$ nên tam giác DHM đồng dạng với tam giác ABC.
- Từ đó suy ra: $\angle DHM = \angle ABC$.
- Vậy ta có: $\angle DHM = \angle ABC$.
- Từ đó suy ra: tam giác DHM đồng dạng với tam giác ABC.
- Vậy ta có: $\angle DHM = \angle ABC$.
- Mà $\angle DHM = \angle DHK$ nên tam giác DHK đồng dạng với tam giác ABC.
- Từ đó suy ra: $\angle DHK = \angle ABC$.
- Vậy ta có: $\angle DHK = \angle ABC$.
- Từ đó suy ra: tam giác DHK đồng dạng với tam giác ABC.
- Vậy ta có: $\angle DHK = \angle ABC$.
- Mà $\angle DHK = \angle DHM$ nên tam giác DHM đồng dạng với tam giác DHK.
- Từ đó suy ra: tam giác DHM đồng dạng với tam giác DHK.
- Vậy ta có: $\angle DHM = \angle DHK$.
- Từ đó suy ra: 3 đường thẳng AK, BM, DH đồng quy.