Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

a) Ta có AH vuông góc với BC (do tam giác ABC vuông tại A), nên ta có DE song song với BC. Do đó, AO là đường trung bình của tam giác ABC nên O là trung điểm của BC.

b) Ta có AD vuông góc với AO (do AD vuông góc với AH và AH vuông góc với BC), nên ta có tam giác ADO vuông tại A.
Áp dụng định lí Euclid trong tam giác vuông ta có:
\(\frac{BK}{BH} = \frac{AD}{AH}\) và \(\frac{CK}{CH} = \frac{AD}{AH}\)
Do đó, \(\frac{BK}{BH} = \frac{CK}{CH}\)

c) Ta có tam giác AHB và tam giác AHC đều vuông tại H.
Áp dụng định lí Pythagore trong hai tam giác vuông ta có:
\(AH^2 = AB^2 + HB^2\) và \(AH^2 = AC^2 + HC^2\)
Do đó, \(AB^2 + HB^2 = AC^2 + HC^2\)
Suy ra, \(HB.HC = AB^2 - AC^2\)
\(HB.HC = (AB+AC)(AB-AC)\)
\(HB.HC = BC.BA\)
\(AH^2 = HB.HC\)