Cho hàm số y = x^3 - 3mx + 1

a) Đúng

Để hàm số có 2 cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình f'(x) = 0.

f'(x) = 3x^2 - 3m

Để hàm số có 2 cực trị, ta cần phải có 2 nghiệm của phương trình f'(x) = 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đồng thời tồn tại 2 giá trị x1 và x2 sao cho f'(x1) > 0 và f'(x2) < 0 hoặc ngược lại.

f'(x) > 0 khi 3x^2 - 3m > 0 => x^2 > m
f'(x) < 0 khi 3x^2 - 3m < 0 => x^2 < m

Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là tồn tại m sao cho tồn tại 2 giá trị x1 và x2 thỏa mãn x1^2 < m < x2^2. Điều này xảy ra khi m thuộc (-vô cực, -2/3) U (2/3,+vô cực).

Vậy phát biểu a) là đúng.

b) Sai

Để hàm số đồng biến trên R, ta cần phải xét dấu của f'(x) trên R.

f'(x) = 3x^2 - 3m

Để hàm số đồng biến trên R, f'(x) phải luôn cùng dấu trên R. Điều này xảy ra khi và chỉ khi f'(x) không có nghiệm hoặc f'(x) = 0 với mọi x.

f'(x) = 0 khi 3x^2 - 3m = 0 => x^2 = m

Điều kiện để hàm số đồng biến trên R là mỗi giá trị của m phải tương ứng với một giá trị nguyên của x^2. Vậy không có 3 giá trị nguyên của m thoả mãn điều kiện trên.

Vậy phát biểu b) là sai.