Đường thẳng d đi qua điểm M(4; 4) và tiếp xúc với đường tròn (x - 1) ^ 2 + (y - 2) ^ 2 = 4 sẽ có phương trình như sau:

Để tìm phương trình của đường thẳng d, ta cần tìm vector pháp tuyến của đường tròn tại điểm tiếp xúc. Để làm điều này, ta cần tìm điểm tiếp xúc của đường thẳng và đường tròn.

Đường thẳng đi qua M(4; 4) và tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(x; y).

Ta có phương trình của đường thẳng d có dạng: y = mx + c

Vì đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn nên ta có hệ phương trình:

(x - 1) ^ 2 + (mx + c - 2) ^ 2 = 4
(4 - 1) ^ 2 + (4m + c - 2) ^ 2 = 4
3 + (4m + c - 2) ^ 2 = 4
(4m + c - 2) ^ 2 = 1

Đạo hàm của đường tròn tại điểm tiếp xúc A(x; y) sẽ là vector pháp tuyến của đường tròn tại điểm đó.

Đạo hàm của đường tròn (x - 1) ^ 2 + (y - 2) ^ 2 = 4 tại điểm A(x; y) sẽ là:

2(x - 1) + 2(y - 2) * dy/dx = 0
dy/dx = - (x - 1) / (y - 2)

Vì đường thẳng d đi qua M(4; 4) nên ta có:

m = - (4 - 1) / (4 - 2) = -3/2

Vậy phương trình của đường thẳng d là: y = -3/2x + 10