Cho nửa đường tròn đường kính AB, bán kính R. Lấy điểm C trên nửa đường tròn và điểm D trên cung CB. Gọi H là giao điểm của AD và BC, E là giao điểm của AC và BD

a) Ta có:
\(\angle EHC = \angle AHB\) (do \(AC\) song song với \(HB\))
\(\angle EDC = \angle ABC\) (cùng chắn cung \(BC\) nên bằng nhau)
Do đó, tứ giác \(ECHD\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
\(\angle EHA = \angle EHB\) (cùng chắn cung \(AB\) nên bằng nhau)
\(\angle EHB = \angle AHB\) (do \(AC\) song song với \(HB\))
Do đó, \(\angle EHA = \angle AHB\)
Vậy \(EH\) vuông góc với \(AB\).

c) Ta có:
\(\angle AEB = \angle AEC + \angle CEB = \angle AHC + \angle CHB\)
\(= 180^\circ - \angle HAC - \angle HBC = 180^\circ - \angle HAB - \angle HBA\)
\(= 180^\circ - \angle AHB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)
Vậy góc \(AEB\) bằng \(90^\circ\).

d) Ta có \(I\) là trung điểm của \(EH\) nên \(IE = IH\).
Do tứ giác \(ECHD\) nội tiếp nên \(\angle EHD = \angle ECD = 90^\circ\).
Vậy \(IE\) vuông góc với \(HD\).
Do đó, \(DI\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AB\).