Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x(2-x) - (x+y)^2 \), trước tiên chúng ta có thể tách riêng và biến đổi lại.

1. **Biểu thức \( 2x(2-x) \)**:
\[
2x(2-x) = 4x - 2x^2
\]
Vì vậy, chúng ta có:
\[
A = 4x - 2x^2 - (x+y)^2
\]

2. **Biểu thức \( (x+y)^2 \)**:
\[
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]
Thay vào biểu thức cho A:
\[
A = 4x - 2x^2 - (x^2 + 2xy + y^2) = 4x - 3x^2 - 2xy - y^2
\]

3. **Phân tích A theo x và y**:
Biểu thức A là một hàm bậc hai của cả x và y. Để tìm giá trị nhỏ nhất, có thể sử dụng các công thức và đạo hàm, nhưng trước tiên, thử xem xét giá trị của \( y \) với trường hợp \( y \) là hằng số.

4. **Tìm giá trị nhỏ nhất của A theo x**:
Xác định giá trị lớn nhất của \( 2x(2-x) \).
Hàm bậc hai \( 2x(2-x) = -2x^2 + 4x \) đạt cực đại tại \( x = 1 \) (theo quy tắc đạo hàm).
Ở x = 1:
\[
2(1)(2-1) = 2
\]

Khi đó, \( A = 2 - (1+y)^2 \).

5. **Tiếp tục tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = 2 - (1+y)^2 \)**:
Biểu thức này thì giá trị nhỏ nhất của \( (1+y)^2 \) là 0 khi \( y = -1 \).
Khi đó:
\[
A = 2 - 0 = 2
\]

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 2 \).