Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn với OA = 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm), D thuộc cung lớn BC, BD < DC (D,O,C không thẳng hàng), K là giao điểm của BC và OA. a) Chứng minh: tứ giác ABC nội tiếp b) Vẽ BH vuông góc dây cung CD (H thuộc CD), gọi 1 là trung điểm của BH, DI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, AN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh: AM.AN = 3R2

a) Ta có:
$\angle AOB = 2\angle ACB$ (cùng chắn cung AB trên đường tròn)
$\angle AOC = 2\angle ABC$ (cùng chắn cung AC trên đường tròn)
$\angle ACB + \angle ABC = 90^\circ$ (hai tiếp tuyến AB, AC vuông góc với đường tròn)
Do đó, $\angle AOB + \angle AOC = 2\angle ACB + 2\angle ABC = 180^\circ$, suy ra tứ giác ABC nội tiếp.

b) Gọi I là trung điểm của CD. Ta có:
$\angle BHC = \angle BDC = \angle BAC = \angle BNC$ (cùng chắn cung BC trên đường tròn)
Vậy tứ giác BHNC là tứ giác nội tiếp.
Do đó, $\angle BNI = \angle BCI = \angle BAC = \angle BAN = \angle BNM$, suy ra tứ giác ANMI nội tiếp.
Từ đó, ta có: $AM \cdot AN = IM \cdot IN = 3R^2$.

c) Ta có $\angle ANM = \angle ABN$ (cùng chắn cung AN trên đường tròn).
Vậy $AO$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$.