Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến AMN của đường tròn (O) sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AN. Kẻ OK vuông góc với MN tại K

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học và đường tròn như sau:

a. Chứng minh tứ giác AKOB nội tiếp đường tròn:
- Ta có AK ⊥ MN (do OK ⊥ MN và AK là đường cao của tam giác AOM).
- Ta có OB ⊥ AB (do OB là đường phân giác của góc AOM).
- Vậy tứ giác AKOB là tứ giác nội tiếp đường tròn (O).
- Để xác định tâm I của đường tròn, ta vẽ đường phân giác của góc AOB, giao MN tại I.

b. Chứng minh 5 điểm A, C, K, O, B cùng thuộc một đường tròn:
- Ta có OC ⊥ AC (do OC là đường phân giác của góc AOB).
- Vậy tứ giác AKOC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O).
- Do đó, 5 điểm A, C, K, O, B cùng thuộc một đường tròn.

c. Chứng minh BQ//AN:
- Ta có góc AOB = góc ACB (cùng chắn cung trên cùng tâm O).
- Ta có góc ACB = góc AKB (cùng chắn cung trên cùng tâm O).
- Vậy góc AOB = góc AKB, từ đó suy ra BQ//AN (do cùng là góc phụ của hai góc đó).

Như vậy, ta đã giải được bài toán.