Để đường thẳng 3x + 4y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (x + 1)² + (y - 2)² = 4, ta cần xác định điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn.

Đường thẳng 3x + 4y + m = 0 có vector pháp tuyến là (-3, -4). Đường tròn có tâm là (-1, 2) và bán kính là 2.

Để tìm điểm tiếp xúc, ta cần tìm điểm cách tâm của đường tròn một khoảng bằng bán kính và nằm trên đường thẳng.

Điểm cách tâm của đường tròn một khoảng bằng bán kính và nằm trên đường thẳng sẽ là điểm tiếp xúc. Gọi điểm tiếp xúc là (x₀, y₀).

Ta có hệ phương trình sau:
3x₀ + 4y₀ + m = 0
(x₀ + 1)² + (y₀ - 2)² = 4

Để giải hệ phương trình trên, ta thay y₀ = (-3x₀ - m)/4 vào phương trình của đường tròn:
(x₀ + 1)² + ((-3x₀ - m)/4 - 2)² = 4
(x₀ + 1)² + ((-3x₀ - m)/4 - 2)² = 4
(x₀ + 1)² + ((-3x₀ - m)/4 - 2)² = 4
(x₀ + 1)² + ((-3x₀ - m)/4 - 2)² = 4

Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được giá trị của m.