Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phần giác BD (D thuộc AC). Kẻ DH vuông góc với BC (H thuộc BC). Gọi K là giao điểm của BA và HD. Chứng minh: a) AD = HD b) BD vuông góc KC C) 2 (AD + AK) >KC

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên AD là đường cao của tam giác ABC.
Vì DH vuông góc với BC nên ta có tam giác HDK vuông tại H.
Do đó, theo định lí Pythagore trong tam giác vuông HDK, ta có:
\(HD^2 = DK^2 + KH^2\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
\(AD^2 = BD \cdot DC\)

Nhân cả hai vế của phương trình trên với BD, ta được:
\(AD^2 \cdot BD = BD^2 \cdot DC\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
\(BD^2 = DC \cdot AC\)

Do đó:
\(AD^2 \cdot BD = DC \cdot AC \cdot DC = DC^2 \cdot AC\)

\(AD^2 = DC^2 \cdot AC\)

\(AD = DC \cdot \sqrt{AC}\)

Vậy ta có:
\(AD = DC \cdot \sqrt{AC}\)

Tương tự, ta cũng có:
\(HD = DK \cdot \sqrt{KC}\)

Do đó:
\(AD = HD\)

b) Ta có:
\(\widehat{KBD} = \widehat{KDH} + \widehat{HBD} = \widehat{KDH} + 90^\circ\)

Nhưng ta cũng có:
\(\widehat{KDH} + \widehat{HDK} = 90^\circ\)

Do đó:
\(\widehat{KBD} = \widehat{HDK}\)

Vậy ta có:
\(BD \perp KC\)

c) Ta có:
\(2(AD + AK) = 2AD + 2AK = 2AD + 2DH = 2(AK + DH) > 2KH = KC\)

Vậy ta có:
\(2(AD + AK) > KC\)