a) Ta có:
\[\angle A = 90^\circ\]
\[\angle H = 90^\circ\]
Vậy \(AABC\) đồng dạng với \(AHB\) theo góc.

b) Ta có:
\[BC^2 = AB^2 - AC^2 = 6^2 - 8^2 = 36 - 64 = -28\]
Vậy \(BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\) cm.

Trong tam giác \(AHC\), ta có:
\[AH^2 = AC^2 - HC^2 = 8^2 - BC^2 = 64 - 28 = 36\]
Vậy \(AH = 6\) cm.

c) Ta có:
\[\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}} = \frac{CD}{CE} = \frac{BD}{BE} = \frac{AB}{AH} = \frac{6}{6} = 1\]

d) Ta có:
\[\frac{MA}{MC} = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{2\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{7}}{7}\]
\[\frac{MB}{MI} = \frac{BC}{CI} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}\]
Vậy ta có:
\[MA \cdot MC = MB \cdot MI\]

e) Để diện tích \(ABIC\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần chọn \(M\) sao cho tam giác \(BIC\) là tam giác vuông cân tại \(I\), tức là \(BM = CM\). Khi đó diện tích \(ABIC\) sẽ đạt giá trị lớn nhất.