a) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, do đó AM chia BC thành hai phần bằng nhau. Vậy ta có BM = MC.

Xét hai tam giác AMB và AMC, ta có:
- AM là cạnh chung.
- BM = MC (vừa chứng minh được).
- Góc AMB = Góc AMC (vì ABC là tam giác cân).

Do đó, theo trường hợp tam giác đồng dạng (cạnh - góc - cạnh), ta có tam giác AMB đồng dạng với tam giác AMC. Vậy ta có AMB = AMC.

b) Ta đã chứng minh được BM = MC, nghĩa là M nằm ở trung điểm của BC. Vì vậy, AM là đường trung trực của BC.

c) Ta có ME vuông góc với AB tại E và Ex vuông góc với BC tại I. Vì I là trung điểm của EF, ta có IE = IF.

Xét hai tam giác FME và FMA, ta có:
- FM // MA (do cùng vuông góc với AC).
- ME // AC (do vuông góc với AB).
- IE = IF (vừa chứng minh được).

Do đó, theo trường hợp tam giác đồng dạng (cạnh - góc - cạnh), ta có tam giác FME đồng dạng với tam giác FMA. Vậy ta có FM vuông góc với AC.