a) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AM chia BC thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, ta có BM = MC. Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có AB = AC.

Suy ra, tam giác AMB và tam giác AMC là hai tam giác cân cạnh, nên chúng đồng dạng. Do đó, ta có AMB = AMC.

b) Vì tam giác AMB và tam giác AMC đồng dạng, nên ta có góc AMB = góc AMC. Nhưng góc AMB + góc AMC = 180 độ (do là góc phụ của góc nhọn trong tam giác), nên góc AMB = góc AMC = 90 độ.

Điều này chứng tỏ AM là đường trung trực của BC.

c) Ta có góc AEM = 90 độ (do ME vuông góc với AB), góc EMI = 90 độ (do EI vuông góc với BC), và I là trung điểm của EF.

Vì I là trung điểm của EF nên ta có EI = IF.

Khi đó, tam giác EMI và tam giác FMI là hai tam giác vuông cân, nên ta có góc FMI = góc FIM = 45 độ.

Vì góc FMI = 45 độ và góc AMC = 90 độ, nên ta có góc FMx = 90 độ.

Do đó, FM vuông góc với AC.