Với các số thực a, b, c không âm thỏa mãn a + 2b + c = 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2ab - 6bc + 3ca

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2ab - 6bc + 3ca, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số a, b, c ta có:
(a + b) + (b + c + c) ≥ 2√(a*b) + 3√(b^2*c) = 2ab + 3bc

Từ đó suy ra: 2ab + 3bc ≤ (a + b + 2b + c) = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2ab - 6bc + 3ca là khi 2ab + 3bc đạt giá trị lớn nhất, tức là 2ab + 3bc = 1. Khi đó, ta có:
M = 2ab - 6bc + 3ca = 2ab + 3ca - 9bc = 1 - 9bc

Để giá trị này đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của bc. Với điều kiện a, b, c không âm và a + 2b + c = 1, ta có:
1 = a + 2b + c ≥ 3√(a*2b*c) = 3√(2abc)
=> abc ≤ 1/27

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 1 - 9/27 = 2/3, đạt được khi a = 1/3, b = 1/3, c = 1/3.