Cho tam giác ABC vuông ở A, vẽ trung tuyến BM. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME=MB. Chứng minh ΔABM = ΔCEM và EC= AB

a) Chứng minh AABM = ACEM VÀ EC= AB:

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

AB^2 = AC^2 + BC^2 (định lí Pythagore)

Ta có BM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = MC

Do đó, ta có AB = 2BM = 2MC

Đặt x = BM = MC, ta có AB = 2x

Do ME = MB nên tam giác AEM cũng là tam giác vuông tại A

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AEM, ta có:

AE^2 = AM^2 + ME^2

AE^2 = (AB/2)^2 + (AB/2)^2

AE^2 = (AB^2)/4 + (AB^2)/4

AE^2 = AB^2/2

AE = AB/√2

Vậy ta có tam giác AABM = tam giác ACEM (cạnh góc cạnh)

Và EC = AB/√2 = AB

b) So sánh BC và CE:

Do tam giác AABM = tam giác ACEM nên ta có AM = AE

Do đó, ta có tam giác AME cũng là tam giác cân tại M

Vậy ta có ME = AM = AE = AB/√2

Do đó, ta có CE = CM + ME = x + AB/√2

So sánh BC và CE, ta cần so sánh x và x + AB/√2

Ta có x + AB/√2 > x vì AB > 0 và √2 > 1

Vậy CE > BC

c) Chứng minh góc ABM > góc CBM:

Do tam giác AABM = tam giác ACEM nên góc AEM = góc AME

Do tam giác AME là tam giác cân tại M nên góc AME = góc AEM

Vậy ta có góc ABM = góc CBM + góc AEM > góc CBM