a) Ta có:
$\angle ABH = \angle CBA$ (cùng nằm ở cùng cạnh AB)
$\angle BAH = \angle BCA$ (vuông góc)
Vậy tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA theo góc.

b) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 = AH^2 + 4^2$
$AB^2 = AH^2 + 16$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC, ta có:
$BC^2 = BH^2 + CH^2$
$BC^2 = 4^2 + CH^2$
$BC^2 = 16 + CH^2$

Do đó, $CH = \sqrt{BC^2 - 16} = \sqrt{121 - 16} = \sqrt{105} = 3\sqrt{7}$

Thay vào công thức trên, ta có:
$AB^2 = AH^2 + 16$
$AB^2 = (AH + 4)^2 + 16$
$AB^2 = AH^2 + 8AH + 16 + 16$
$AB^2 = AH^2 + 8AH + 32$

Vậy $AB = \sqrt{AH^2 + 8AH + 32}$

c) Ta có:
$AE \cdot CH = AH \cdot FC$
$\frac{AE}{AH} = \frac{FC}{CH}$

Ta có:
$\angle AHE = \angle FHC$ (cùng nằm ở cùng cạnh AH)
$\angle HAE = \angle HCF$ (vuông góc)

Vậy tam giác AHE đồng dạng với tam giác CHF theo góc.

Do đó, $\frac{AE}{AH} = \frac{FC}{CH}$ được chứng minh.