Để giải quyết bài toán liên quan đến tam giác ABC vuông tại A và các điểm đã cho, chúng ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AHMK là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AHMK có các cạnh:
- AH vuông góc với AB tại H.
- AK vuông góc với AC tại K.

Vì M là trung điểm của BC và MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC nên tứ giác AHMK có các cạnh đáy AM, HK. Hơn nữa, AH vuông góc với MK và AM vuông góc với AH, do đó:
- ∠AHM = ∠AKM = 90°.

Vì vậy, tứ giác AHMK là tứ giác chữ nhật (do A, H, M, K đều vuông góc với nhau).

### b) Cho AC = 8cm. Tính độ dài đoạn HM.
Để tính độ dài HK, ta áp dụng định lý Pitago trong tam giác AMC. Do M là trung điểm của BC, ta có:
\[ AM = \frac{1}{2}BC \form{1}\]

Ta cũng có rằng:
\[ HM = AM \cdot \sin(\angle A) \form{2}\]
\[ MK = AM \cdot \sin(90° - \angle A) \form{3}\]

Từ đó, tính hệ số của HM:
\[ HM = AM \cdot \sin(\angle A) \implies HM = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot \sin(\angle A) \]

Với AC = 8 và M là trung điểm, phía trên có thể áp dụng! Giả sử:
\[ AC = 8cm, \text{ (đoạn AC với góc vuông)}\]

Tính hợp lý cho chiều dài:
\[ HM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sin(\angle A) = 4 \cdot \sin(\angle A) \]

### c) Vẽ điểm N sao cho H là trung điểm của MN. Tứ giác ANBM là hình gì? Vì sao?
Với H là trung điểm của MN thì:
- \( NH = HM \) và \( AH = AH \)

Do đó , tứ giác ANBM có tính chất đối xứng quanh đường thẳng AH. Vì vậy, ta có tứ giác ABNH sẽ là hình chữ nhật (2 cạnh đối đều song song và góc vuông).

### d) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác ANBM là hình vuông?
Tứ giác ANBM sẽ là hình vuông nếu các cạnh AM, AN, AB đều bằng nhau và AB vuông góc với AM. Cụ thể, điều kiện là:
\[
AC \text{ (chiều AC chứng minh bằng chiều chiều AB trong hình như là hình chữ nhật)}
\]

### e) Chứng minh HK là đường trung bình của tam giác ABC.
Điểm H' là trung điểm của AB và K' là trung điểm đối diện AC. Nếu HK là trung bình, ta có:
\[
HK = \frac{BC}{2} (góc vuông vuông tại A) \text{ (giả sử HK song song)}
\]

### f) Gọi E là trung điểm của HM. Chứng minh 3 điểm B, E, K thẳng hàng.
Vì H là trung điểm ta có:
1. \( B, M, E \) nằm trên một đường thẳng
2. HK vuông góc với AC có chiều dài AM (H là trung điểm), hay B trong tỷ lệ chiều dài.

Như vậy, 3 điểm thẳng hàng.

**Chú ý:** Ta cần chis ngửa lại xem phương pháp nào cho phù cụ, qua dòng chảy là cần đảm bảo được các điểm chính xác.