Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC=8cm

a) Chứng minh AH . BC = HA . HD:

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

$$AH^2 = AB^2 - BH^2$$

$$AH^2 = AB^2 - (AC - CH)^2$$

$$AH^2 = AB^2 - AC^2 + 2AC \cdot CH - CH^2$$

$$AH^2 = AB^2 - AC^2 + 2AC \cdot CH - (AH^2 - AC^2)$$

$$2AH^2 = AB^2 - AC^2 + 2AC \cdot CH$$

$$2AH^2 = AB^2 - AC^2 + 2AC \cdot \frac{BC \cdot AC}{AB}$$

$$2AH^2 = AB^2 - AC^2 + 2BC \cdot AC$$

$$2AH^2 = AB^2 + BC^2 - AC^2$$

$$2AH^2 = 36 + BC^2 - 64$$

$$2AH^2 = BC^2 - 28$$

$$AH^2 = \frac{BC^2 - 28}{2}$$

$$AH \cdot BC = \sqrt{\frac{BC^2 - 28}{2}} \cdot BC = \sqrt{\frac{BC^2 - 28}{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BC = \sqrt{BC^2 - 28} \cdot \sqrt{2} \cdot BC = \sqrt{2} \cdot BC \cdot AH$$

$$AH \cdot BC = HA \cdot HD$$

b) Chứng minh AMN đồng dạng ACB:

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

$$\angle BAC = 90^\circ$$

$$\angle HAM = \angle HAN = 90^\circ$$

$$\angle HAM = \angle ACB$$

$$\angle HAN = \angle ABC$$

Vậy ta có AMN đồng dạng với ACB.

c) Tính diện tích tứ giác ABCD:

Diện tích tứ giác ABCD bằng diện tích tam giác ABC cộng với diện tích tam giác ACD.

Diện tích tam giác ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 cm^2$$

Diện tích tam giác ACD:

$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot HD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{BC^2 - 28}$$

Vậy diện tích tứ giác ABCD là:

$$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = 24 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{BC^2 - 28} = 24 + 4\sqrt{BC^2 - 28} cm^2$$