a) Ta có:
$\angle IAB = \angle IHB$ (cùng chắn cung AB trên đường tròn (ABH))
$\angle IHA = \angle IBA$ (cùng chắn cung AH trên đường tròn (AHC))
Vậy $\triangle IAB \sim \triangle IHB$ (cân đỉnh AHB)
$\Rightarrow \frac{IH}{IA} = \frac{IA}{BH}$
$\Rightarrow IH \cdot AB = IA \cdot BH$

b) Ta có:
$\angle ABE = \angle ABC$ (phân giác của góc ABC)
$\angle AEB = \angle ACB$ (phân giác của góc BAC)
Vậy $\triangle ABE \sim \triangle ABC$
$\Rightarrow AB^2 = BH \cdot BC$

c) Ta có:
$\angle IAE = \angle ICE$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn (AEC))
Vậy $\triangle IAE \sim \triangle ICE$
$\Rightarrow \frac{IH}{IA} = \frac{AE}{EC}$

d) Ta có:
$\angle IAE = \angle ICE$ (cùng chắn cung AE trên đường tròn (AEC))
$\angle AIE = 180^\circ - \angle IAE - \angle ICE = 180^\circ - \angle IAE - \angle IAE = 180^\circ - 2\angle IAE$
Vậy tam giác AIE cân.