Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) lần lượt vẽ 2 đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Chứng minh: CH vuông góc AB và tam giác AMC đồng dạng với tam giác BNC

a) Ta có:
$\angle CAM = 90^\circ - \angle ACB = \angle CBN$
$\angle AMC = 180^\circ - \angle CAM - \angle CMA = 180^\circ - \angle CBN - \angle BNC = \angle BNC$
Vậy tam giác AMC đồng dạng với tam giác BNC.

b) Ta có:
$\angle MKC = 90^\circ - \angle KAC = \angle MAC$
$\angle MCK = 90^\circ - \angle MKC = \angle CAM$
Vậy tam giác MCK đồng dạng với tam giác CAM.
Do đó, ta có:
$\frac{MC}{CK} = \frac{AM}{AC}$
$\Rightarrow MC^2 = CK \cdot CA$

c) Ta có:
$\frac{MC^2}{AM^2} = \frac{CK \cdot CA}{AM^2} = \frac{CK}{AM} \cdot \frac{CA}{AM} = \frac{CK}{AM} \cdot \frac{CI}{IM} = \frac{CI}{IM}$
Vậy $MC^2/AM^2=IC/IM$.