a) Ta có BD = CE, AB = AC (tam giác cân), và góc ABD = góc ACE (do BD // CE). Vậy, theo trường hợp tam giác đồng dạng (AAD), ta có ΔABD = ΔACE.

b) Ta cần chứng minh rằng góc BAF = góc EAF. Ta có:

- Góc BHD = góc CHE (do BD = CE và tam giác BHD cân tại B, tam giác CHE cân tại C)
- Góc HBD = góc ECE (do BD // CE)
- Góc ABD = góc ACE (vì ΔABD = ΔACE)

Từ đó, ta suy ra:

- Góc BAH = góc CAK (do AB = AC và BH // CK)
- Góc BAF + góc FAE = góc BAH + góc CAK = 180°
- Vậy, góc BAF = góc EAF, tức AF là tia phân giác của góc DAE.

c) Ta có:

- Góc BHD = góc CHE (do BD = CE và tam giác BHD cân tại B, tam giác CHE cân tại C)
- Góc HBD = góc ECE (do BD // CE)
- Vậy, tam giác BHD và tam giác CHE đồng dạng.
- Từ đó, ta có BH/CE = BD/EC, hay BH = CK.
- Vậy, HK // BC.

d) Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh rằng A, F, M thẳng hàng. Ta có:

- Góc BAF = góc EAF (đã chứng minh ở b)
- Góc BAC = góc EAB (do tam giác cân và BD = CE)
- Góc CAM = góc BAM (do AM là đường trung trực của BC)
- Vậy, tam giác BAF và tam giác EAF đồng dạng.
- Từ đó, ta có BA/EA = BF/EF, hay AM song song với EF.
- Vậy, A, F, M thẳng hàng.