a) Phương trình tham số của đường thẳng BC:
Đi qua hai điểm B(1,2) và C(2,-3), ta có vector chỉ phương của đường thẳng BC là:
\[\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ -3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}\]

Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là:
\[\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -3 - 5t \end{cases}\]

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB:
Đi qua hai điểm A(-1,2) và B(1,2), ta có vector chỉ phương của đường thẳng AB là:
\[\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1-(-1) \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
\[2x + 0y = 2 \Rightarrow x = 1\]

b) Khoảng cách từ điểm C(2,-3) đến đường thẳng AB:
Đường thẳng AB có phương trình \(x = 1\), vậy khoảng cách từ điểm C(2,-3) đến đường thẳng AB là:
\[d = |2 - 1| = 1\]

Diện tích tam giác ABC:
Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác bằng nửa tích vector ba điểm:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}|\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}| = \frac{1}{2}|(0 - 0)i - (0 - 6)j| = 3\]

Vậy diện tích tam giác ABC là 3 đơn vị vuông.

c) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
Để tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta cần tìm tâm và bán kính của đường tròn.
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm của tam giác ABC và tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của các đường trung tuyến, ta tính được trực tâm là:
\[M_{AB} = \left(\frac{-1+1}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = (0,2)\]
\[M_{BC} = \left(\frac{1+2}{2}, \frac{2-3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)\]
\[M_{AC} = \left(\frac{-1+2}{2}, \frac{2-3}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\]

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta tính được tâm I là:
\[I = \left(\frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{2+(-\frac{1}{2})}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)\]

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta cần tính khoảng cách từ tâm I đến một trong các đỉnh của tam giác ABC, ví dụ tính khoảng cách từ I đến A(-1,2):
\[r = \sqrt{\left(\frac{1}{4} - (-1)\right)^2 + \left(\frac{3}{4} - 2\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16} + \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{26}}{4}\]

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
\[(x - \frac{1}{4})^2 + (y - \frac{3}{4})^2 = \left(\frac{\sqrt{26}}{4}\right)^2\]