a) Ta có:
$\widehat{BAC} = 90^{\circ} - \widehat{ABC} = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Khi đó, ta có $BC = AC = AB$.
Do đó, ta có $\triangle ABH$ vuông tại H và cân tại A nên $AH = AB = BC$.
Ta có $\triangle ABH$ vuông tại H và cân tại A nên $BH = BA = BC$.
Vậy tam giác ABH là tam giác đều.
Do đó, ta có $\widehat{BHA} = 60^{\circ}$.
Vậy $\widehat{HAC} = \widehat{BHA} = 60^{\circ}$.
Suy ra $\widehat{HAB} = \widehat{HAC} = 60^{\circ}$.
Vậy tam giác AHM cũng là tam giác đều.
Do đó, ta có $AM = AH = AB = BC$.
Vậy tam giác AMC cũng là tam giác đều.
Khi đó, ta có $\widehat{MAC} = 60^{\circ}$.
Vậy $\widehat{MCA} = \widehat{MAC} = 60^{\circ}$.
Suy ra $\widehat{ACB} = 180^{\circ} - \widehat{BAC} - \widehat{ACB} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$.
Vậy $\widehat{C} = 60^{\circ}$.

b) Ta có $\triangle MBD$ vuông tại D và cân tại M nên $MD = MB$.
Vậy tam giác MBD là tam giác cân tại M.
Do đó, ta có $\widehat{MDB} = \widehat{MBD}$.
Nhưng $\widehat{MBD} = \widehat{MBC} = \frac{1}{2} \widehat{ABC} = \frac{1}{2} \times 30^{\circ} = 15^{\circ}$.
Vậy $\widehat{MDB} = 15^{\circ}$.
Ta có $\widehat{MDC} = 90^{\circ} - \widehat{MCD} = 90^{\circ} - \widehat{MBC} = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$.
Vậy $\widehat{MDC} = 75^{\circ}$.
Nhưng $\widehat{MDC} = \widehat{NDC}$ (vì MD vuông góc với NC) nên $\widehat{NDC} = 75^{\circ}$.
Ta có $\widehat{NCD} = 180^{\circ} - \widehat{NDC} - \widehat{DCN} = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 90^{\circ} = 15^{\circ}$.
Vậy $\widehat{NCD} = 15^{\circ}$.
Nhưng $\widehat{NCD} = \widehat{NCE}$ nên $\widehat{NCE} = 15^{\circ}$.
Vậy $\widehat{BCE} = \widehat{NCE} + \widehat{BCN} = 15^{\circ} + 30^{\circ} = 45^{\circ}$.
Nhưng $\widehat{BCE} = \widehat{BCA}$ nên $\widehat{BCA} = 45^{\circ}$.
Vậy BM là tia phân giác góc ABC.