1) Giải hệ phương trình:

3√x - 2 = 12 + 4y

y = 2x - 2

Thay y = 2x - 2 vào phương trình 1:

3√x - 2 = 12 + 4(2x - 2)

3√x - 2 = 12 + 8x - 8

3√x - 2 - 8x = 4

3√x - 8x = 6

√x = 2

x = 4

Thay x = 4 vào phương trình y = 2x - 2:

y = 2(4) - 2

y = 8 - 2

y = 6

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là x = 4, y = 6.

2)

a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi m = 2:

Đường thẳng (d): y = 2(2)x - 2(2) + 1

y = 4x - 4 + 1

y = 4x - 3

Parabol (P): y = x²

Giao điểm của (d) và (P) khi m = 2 là điểm có hoành độ x là nghiệm của phương trình:

4x - 3 = x²

x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1 hoặc x = 3

Khi x = 1, y = 4*1 - 3 = 1

Khi x = 3, y = 4*3 - 3 = 

Vậy, toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi m = 2 là (1, 1) và (3, 9).

b) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x thoả mãn y = -3x + x^2 - 1:

Đường thẳng (d): y = 2mx - 2m + 1

Parabol (P): y = x²

Để đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt, ta cần giải hệ phương trình:

2mx - 2m + 1 = x²

x² - 2mx + 2m - 1 = 0

Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần Δ = 0:

Δ = (-2m)^2 - 4*1*(2m-1) = 0

4m^2 - 8m + 4 = 0

m^2 - 2m + 1 = 0

(m - 1)^2 = 0

m = 1

Vậy, để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x thoả mãn y = -3x + x² - 1, ta cần m = 1.

1) Chứng minh 4 điểm A, B, O, H cùng thuộc một đường tròn:

- Ta có hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn tại B, C.

- Theo tính chất của tiếp tuyến, góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc là góc vuông.

- Do đó, góc AOB và góc AHC là góc vuông.

- Khi có 3 điểm trên cùng một đường tròn tạo thành một góc vuông, ta kết luận rằng 4 điểm A, B, O, H cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh AB^2 = AM * AN:

- Ta có góc AOB và góc AHC là góc vuông, do đó ta có 2 tam giác vuông AOB và AHC.

- Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:

+ Trong tam giác vuông AOB: AB^2 = OA^2 + OB^2

+ Trong tam giác vuông AHC: AH^2 = HA^2 + HC^2

- Từ các phương trình trên, ta có:

+ AB^2 = OA^2 + OB^2 = OA^2 + (OA - R)^2 = 2OA^2 - 2OA * R

+ AH^2 = HA^2 + HC^2 = HA^2 + (HA + R)^2 = 2HA^2 + 2HA * R

- Vì H là trung điểm của MN, nên AH = HM = AN/2

- Khi thay AH = AN/2 vào biểu thức trên ta được AB^2 = AM * AN

3) Chứng minh BHM = BPM và I là trung điểm của AC:

- Ta biết rằng AB là tiếp tuyến nên góc ABM = 90 độ.

- Do đó, góc BHM = góc BPM = 90 độ (do BM là đường cao trong tam giác ABM).

- Gọi P' là giao điểm của NP và AC, ta cần chứng minh rằng P' = I.

- Vì BM // AC và MN // AC, theo tính chất của đường song song, ta có BI/IC = BM/MC = BN/NC.

- Từ đó suy ra điểm I chính là trung điểm của AC.

- Vậy BHM = BPM và I là trung điểm của AC.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x và y sao cho x + y là nhỏ nhất.

Cho x + y = k, ta có y = k - x. Thay y = k - x vào phương trình đã cho, ta được:

x + (k - x)² - 4x - 12 = 0

k² - 2kx + x² - 4x - 12 = 0

x² - (2k + 4)x + k² - 12 = 0

Để tìm giá trị nhỏ nhất của x + y = k, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x khi giữ k là hằng số.

Áp dụng định lí về delta của phương trình bậc hai, ta có:

Δ = (2k + 4)² - 4(k² - 12)

Δ = 4k² + 16k + 16 - 4k² + 48

Δ = 16k + 64

Để có giá trị nhỏ nhất của x, ta cần Δ ≥ 0:

16k + 64 ≥ 0

16k ≥ -64

k ≥ -4

Vậy, giá trị nhỏ nhất của k là -4. Khi đó, ta có x + y = -4 và từ phương trình x + y = k, ta có x = -2, y = -2.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y là -4.