Để tính diện tích tam giác AIE, ta cần tìm độ dài các cạnh của tam giác AIE.

Vì AI = 2IB và E là điểm chính giữa cạnh AC, nên ta có AE = EC và AI = 2IB = IB.

Ta có: diện tích tam giác ABC = 24cm² = 1/2 * AB * h, trong đó h là độ dài đường cao từ C xuống AB.

Vì E là điểm chính giữa cạnh AC nên h = 2 * h1, trong đó h1 là độ dài đường cao từ E xuống AB.

Vậy diện tích tam giác ABC = 1/2 * AB * 2 * h1 = AB * h1.

Do đó, AB * h1 = 24cm².

Ta có: AB = AI + IB = 3IB và h1 = EC = 1/2 * AC = 1/2 * (AI + IC) = 1/2 * 3IB = 3/2IB.

Thay vào công thức trên, ta có: 3IB * 3/2IB = 24cm².

Suy ra, IB = 4cm và AI = 8cm.

Vậy diện tích tam giác AIE = 1/2 * AI * EC = 1/2 * 8cm * 4cm = 16cm².

Vậy diện tích tam giác AIE là 16cm².