Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất sau:
1. Định lý hình học: Điểm nằm trên đường tròn nếu và chỉ nếu góc tạo bởi hai dây nối điểm đó với hai điểm còn lại trên đường tròn bằng nhau.
2. Định lý hình học: Hai tam giác đồng dạng khi có 2 góc bằng nhau tương ứng.
3. Định lý hình học: Trong tam giác vuông, đường cao chia tam giác thành 2 tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu.

a) Ta có:
- Góc EAD = 90 độ (vì EF vuông góc với AB tại D)
- Góc EBD = 90 độ (vì EF vuông góc với AB tại D)
- Góc EAD = Góc EBD (vì AB là dây cắt đường tròn)
=> Tam giác EAD và tam giác EBD đồng dạng
=> Góc EDA = Góc EDB
=> D nằm trên đường tròn đi qua E, A, B
Tương tự, ta có I nằm trên đường tròn đi qua E, A, B
=> Bốn điểm E, D, K, I cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có:
- Góc CED = Góc KID (cùng là góc nội tiếp trên cùng đường tròn)
- Góc CDE = Góc KDI (cùng là góc nội tiếp trên cùng đường tròn)
=> Hai tam giác CIK và CED đồng dạng.

c) Ta có:
- Góc CAK = Góc CBK (cùng là góc nội tiếp trên cùng đường tròn)
- Góc CKA = Góc CKB (cùng là góc nội tiếp trên cùng đường tròn)
=> Tam giác CAK đồng dạng với tam giác CBK
=> CA/CK = CK/CB
=> CA.CB = CK^2
Tương tự, ta có:
KA/KB = CK/CB
=> KA.KB = CK^2
=> CA.KB = CB.KA

Vậy, các điều cần chứng minh đã được chứng minh.