1. Rút gọn biểu thức P:
Để rút gọn biểu thức P, ta thực hiện các bước sau:
P= ((a - √a)/(√a - 1) - (√a+ 1)/(a + √a))÷(√a+1)/(a)
= ((a - √a)/(√a - 1) - (√a+ 1)/(a + √a)) * (a/(√a+1))
= ((a - √a)(a + √a) - (√a+ 1)(√a - 1))/(√a - 1)(√a + 1)
= (a^2 - a√a + a√a - √a^2 - √a + √a - √a + 1)/(a^2 - 1)
= (a^2 - √a^2 - √a + 1)/(a^2 - 1)
= (a^2 - a - √a + 1)/(a^2 - 1)
= (a^2 - a - √a + 1)/(a^2 - 1)

Vậy biểu thức P được rút gọn thành: P = (a^2 - a - √a + 1)/(a^2 - 1)

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm điều kiện để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
P = (a^2 - a - √a + 1)/(a^2 - 1)
Đạo hàm của P theo a:
P' = (2a - 1 - 1/(2√a))/(a^2 - 1)^2

Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta giải phương trình P' = 0:
2a - 1 - 1/(2√a) = 0
⇒ 4a^2 - 4a - 1 = 0
⇒ a = (4 ± √20)/8
⇒ a = (1 ± √5)/2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a = (1 + √5)/2 hoặc a = (1 - √5)/2.