Bài 1

Cho biểu thức \(a= \frac{x}{2x-4} - \frac{x-2}{2x-4} + \frac{8}{x^2-4}\)


A) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức a:
Điều kiện xác định: \(x \neq 2, x \neq -2, x \neq 0\)
Rút gọn biểu thức a:
\(a = \frac{x}{2(x-2)} - \frac{x-2}{2(x-2)} + \frac{8}{(x+2)(x-2)}\)
\(a = \frac{x - x + 2 + 8}{2(x-2)}\)
\(a = \frac{10}{2(x-2)}\)
\(a = \frac{5}{x-2}\)


B) Tính giá trị của biểu thức a khi x = -4:
\(a = \frac{5}{-4-2}\)
\(a = \frac{5}{-6}\)
\(a = -\frac{5}{6}\)


C) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức a có giá trị nguyên:
Để \(a\) có giá trị nguyên, ta cần \(x-2\) chia hết cho 5, tức là \(x = 7\).


Bài 2

Cho biểu thức \(a = \frac{x}{x-3} - \frac{x+1}{x-3} + \frac{2x-3}{9-x^2}\) và \(b = \frac{x+1}{x-3}\) với \(x \neq 3\)


A) Tính giá trị của b biết \([x-4] = 1\):
Nếu \([x-4] = 1\), ta có \(x = 5\) hoặc \(x = 3\).
Với \(x = 5\):
\(b = \frac{5+1}{5-3}\)
\(b = \frac{6}{2}\)
\(b = 3\)


B) Rút gọn biểu thức a:
\(a = \frac{x - x - 1 + 2x - 3}{x-3} + \frac{2x-3}{(3+x)(3-x)}\)
\(a = \frac{x - 4}{x-3} + \frac{2x-3}{(3+x)(3-x)}\)


C) Tìm x để \(m = 5\) biết \(m = b \cdot a\):
\(5 = 3 \cdot \frac{x-4}{x-3} + \frac{2x-3}{(3+x)(3-x)}\)
Giải phương trình trên để tìm x.


D) Tìm giá trị nguyên của x để \(n\) có giá trị nguyên, biết \(n = b - a\):
\(n = \frac{x+1}{x-3} - \frac{x - 4}{x-3} - \frac{x - 4}{x-3} + \frac{2x-3}{(3+x)(3-x)}\)
Giải phương trình trên để tìm giá trị nguyên của x.


Bài 3

Cho \(P = \frac{x+3}{x-2}\) và \(Q = \frac{x-1}{x+2} + \frac{5x-2}{x^2 - 4}\) với \(x > 0\), \(x \neq 2\)


A) Tính giá trị của biểu thức P khi x = -3:
\(P = \frac{-3+3}{-3-2}\)
\(P = \frac{0}{-5}\)
\(P = 0\)


B) Chứng minh Q = \(\frac{x}{x-2}\):
\(Q = \frac{x-1}{x+2} + \frac{5x-2}{(x+2)(x-2)}\)
\(Q = \frac{(x-1)(x-2) + 5x-2}{(x+2)(x-2)}\)
\(Q = \frac{x^2 - 3x + 2 + 5x - 2}{(x+2)(x-2)}\)
\(Q = \frac{x^2 + 2x}{(x+2)(x-2)}\)
\(Q = \frac{x(x+2)}{x(x-2)}\)
\(Q = \frac{x}{x-2}\)


C) Tìm giá trị nguyên của biểu thức Q/P có giá trị nguyên:
Để \(Q/P\) có giá trị nguyên, ta cần \(x-2\) chia hết cho \(x\), tức là \(x = 2\).