Để chứng minh ba phần trên, ta cần chứng minh các bước sau:

a. Ta có tam giác BAD vuông tại B và tam giác EAD vuông tại E (do DE vuông góc với AC), cùng chung một góc A nên ta có:
\(\angle BAD = \angle EAD\)
\(AB = AE\) (do AD là phân giác của góc BAC)
\(AD = AD\) (chung)
Do đó, tam giác BAD = tam giác EAD (cạnh - góc - cạnh).

b. Ta có:
\(\angle ADE = 90^\circ - \angle DAE = 90^\circ - \angle BAE = \angle ABE\)
\(\angle DEA = \angle BEA\)
Do đó, tam giác ADE = tam giác ABE (góc - cạnh - góc)
\(AD = AB\) (chung)
\(DE = BE\) (vuông góc)
Do đó, tam giác ADE = tam giác ABE (cạnh - cạnh - cạnh)
\(AD = AB = AE\)
\(AD\) là đường trung trực của \(BE\).

c. Ta có \(BK = CE\), suy ra tam giác BCE là tam giác cân tại B.
Do đó, \(\angle CBE = \angle BCE\)
\(CE = CB\) (chung)
\(DE = BE\) (vuông góc)
Do đó, tam giác CDE = tam giác CBE (góc - cạnh - góc)
\(DE = BE = CE\)
\(D, E, K\) thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng \(CE\)).