Giải:

a, Ta có:

• BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC, nên ta dùng định lý Pythagore: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm.


• Diện tích tam giác ABC: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) cm\(^2\).


• Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác nhỏ hơn, nên ta có: \(AH = \frac{2 \times S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \times 24}{10} = \frac{48}{10} = 4.8\) cm.


• Do đó, \(AH = 4.8\) cm và \(BH = HC = \frac{AH \times BC}{AB} = \frac{4.8 \times 10}{6} = 8\) cm.

b, Ta có: \(AB^2 = 6^2 = 36\) cm\(^2\) và \(BH \times BC = 8 \times 10 = 80\) cm\(^2\). Vậy ta có \(AB^2 = BH \times BC\).

c, Ta có P là trung điểm của BH nên BP = PH = 4 cm. Tương tự, ta có Q là trung điểm của AH nên AQ = QH = 2.4 cm. Do đó, ta có tam giác BAP đồng dạng với tam giác ACQ theo định lý đồng dạng.

d, Ta có tam giác BAP đồng dạng với tam giác ACQ nên góc BAP bằng góc ACQ. Nhưng góc ACQ bằng góc C vì tam giác ACQ vuông tại C. Vậy góc BAP bằng góc C, từ đó suy ra AP vuông góc CQ.