Để chứng minh phương trình x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 có nghiệm kép, ta cần xác định điều kiện để phương trình trên có nghiệm kép.

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi delta của phương trình bằng 0. Delta của phương trình x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 là:

Δ = (-2(m+1))^2 - 4*1*(m^2 - 3)
Δ = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - 3)
Δ = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 + 12
Δ = 8m + 16

Để phương trình có nghiệm kép, ta cần Δ = 0:
8m + 16 = 0
8m = -16
m = -2

Vậy khi m = -2, phương trình x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 có nghiệm kép. Để tìm nghiệm kép đó, ta thay m = -2 vào phương trình ban đầu:

x^2 - 2(-2+1)x + (-2)^2 - 3 = 0
x^2 + 2x + 1 - 3 = 0
x^2 + 2x - 2 = 0

Đây là phương trình bậc 2 có nghiệm kép khi delta bằng 0. Tính delta:

Δ = 2^2 - 4*1*(-2) = 4 + 8 = 12

Nghiệm kép của phương trình trên là:
x = (-2 ± √12) / 2
x = (-2 ± 2√3) / 2
x = -1 ± √3

Vậy nghiệm kép của phương trình x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3 khi m = -2 là x = -1 ± √3.