Để tìm phương trình đường thẳng (∆) song song (d) và tiếp xúc với đường tròn (C), ta cần tìm điểm tiếp xúc giữa đường tròn và đường thẳng (∆).

Đầu tiên, ta cần tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C). Để làm điều này, ta cần đưa phương trình của đường tròn về dạng chuẩn.

Phương trình đường tròn (C): x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0
Đưa về dạng chuẩn: (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

Tâm của đường tròn (C) là (2, -3) và bán kính là 5.

Tiếp theo, ta cần tìm phương trình của đường thẳng (∆) song song với (d) và đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn (C). Để đơn giản, ta có thể sử dụng tính chất hình học của đường tròn và đường thẳng tiếp xúc.

Đường thẳng (∆) song song với (d) và tiếp xúc với đường tròn (C) sẽ đi qua điểm tiếp xúc và có hướng vuông góc với đường tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc trên đường tròn.

Hơn nữa, ta biết rằng đường thẳng (∆) song song với (d) nên phương trình của (∆) cũng có dạng x + y + c = 0.

Để tìm c, ta sử dụng tính chất hình học của đường tròn và đường thẳng tiếp xúc. Đường thẳng tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc sẽ vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn và điểm tiếp xúc.

Với tâm của đường tròn (2, -3) và điểm tiếp xúc (a, b), ta có phương trình đường thẳng nối tâm và điểm tiếp xúc: (a - 2)(x - 2) + (b + 3)(y + 3) = 0

Với đường thẳng (∆) song song với (d), ta có phương trình (∆): x + y + c = 0

Để (∆) tiếp xúc với đường tròn (C), ta cần giải hệ phương trình này để tìm a, b và c. Sau đó, phương trình của đường thẳng (∆) sẽ là x + y + c = 0.