Khi m thay đổi giá trị, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a = x1^2 + x2^2 + 6x1 + 6x2

a) Để chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại 2 điểm phân biệt, ta cần giải hệ phương trình giữa (d) và (p).

Thay y = mx + 4 vào phương trình của parabol ta được:
mx + 4 = x^2
x^2 - mx - 4 = 0

Đây là phương trình bậc hai, với a = 1, b = -m, c = -4. Để đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt, ta cần delta > 0.

Delta = b^2 - 4ac = m^2 + 16 > 0 với m bất kỳ. Vì vậy, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (p) tại 2 điểm phân biệt.

b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (p). Ta có:
x1 + x2 = m (do giao điểm của (d) và (p) là nghiệm của phương trình x^2 - mx - 4 = 0)
x1x2 = 4 (do giao điểm của (d) và (p) là nghiệm của phương trình mx + 4 = x^2)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a = x1^2 + x2^2 + 6x1 + 6x2 = (x1 + 3)^2 + (x2 + 3)^2 - 18

Áp dụng định lí Vi-été, ta có:
(x1 + 3)^2 + (x2 + 3)^2 = (x1 + x2 + 6)^2 - 2x1x2 = (m + 6)^2 - 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của a là (m + 6)^2 - 8 - 18 = (m + 6)^2 - 26. Để tìm giá trị nhỏ nhất của a, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của (m + 6)^2, tức là m = -6. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của a là (-6 + 6)^2 - 26 = -26.