a) Ta có:
$\angle HBA = \angle HAC$ (cùng là góc vuông)
$\angle BHA = \angle CHA$ (cùng là góc vuông)
Và $HA$ chung nên $\Delta HBA \sim \Delta HAC$ (theo góc - cạnh - góc)

Do đó, ta có:
$\frac{HA}{HB} = \frac{HA}{HC}$
$HA.HC = HB.HA$
$AH^2 = BH.CH$

b) Ta có $I$ là trung điểm của $AH$, nên $CI$ là đường trung bình của tam giác $APH$, suy ra $PI.PH = PK.PC$ (định lí đường trung bình)

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$, ta có $OI$ song song với $AH$ (do $I$ là trung điểm của $AH$), suy ra $\angle PCI = \angle OHI$ (do cùng là góc nội tiếp)

c) Ta có $A$ là trung điểm của $BC$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$), $I$ là trung điểm của $AH$ nên $A$ là trung điểm của $PH$ (do $I$ là trung điểm của $AH$).

Vậy ta đã chứng minh được $A$ là trung điểm của $PH$.