a/ Ta có:
- Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AH là đường cao nên AH là đường phân giác của góc A.
- Vì vậy, ta có góc BAH = góc CAH.
- Tương tự, ta có góc CAH = góc BAC.
- Do đó, ta có góc BAH = góc BAC.
- Vậy, tam giác AHBA đồng dạng với tam giác AABC theo góc.

b/ Gọi BC = x.
Ta có:
- Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AH là đường cao nên \(AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{12 \times 16}{x} = \frac{192}{x}\).
- Ta có HA = HD nên \(HD = \frac{192}{x}\).
- Ta có tam giác AHD vuông tại H nên ta có: \(AD^2 = AH^2 + HD^2 = \left(\frac{192}{x}\right)^2 + \left(\frac{192}{x}\right)^2 = \frac{2 \times 192^2}{x^2}\).
- Do đó, \(AD = \sqrt{\frac{2 \times 192^2}{x^2}} = \frac{8\sqrt{6}}{x}\).
- Ta có: \(BC^2 = AB^2 - AC^2 = 12^2 - 16^2 = 144 - 256 = -112\) (vì BC là độ dài nên không thể âm).
- Vậy, \(BC = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}\).

Vậy, BC = 4√7, AH = 192/x, AD = 8√6/x.

c/ Ta có:
- Gọi E là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC tại D và AC.
- Ta có: góc BDC = góc BAC = góc BAH = góc AHD (do AH = HD).
- Vậy, tam giác BDC đồng dạng với tam giác AHD theo góc.
- Tương tự, ta có tam giác BEC đồng dạng với tam giác ADC theo góc.
- Vậy, ta có BEC ∼ ADC.