Trên đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R. Lấy điểm M (khác a, b), vẽ tiếp tuyến với (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại C. Chứng minh: BM . BC = 4R^2

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng định lí hình học cơ bản về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp trên đường tròn.

Đặt góc BAC = x, ta có góc BOC = 2x (góc ngoại tiếp).

Do đó, góc BMC = góc BOC = 2x (góc ngoại tiếp).

Ta có: góc MBC = góc BAC = x (góc nội tiếp).

Do đó, tam giác BMC là tam giác cân tại M.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BMC, ta có: BM^2 = BC^2 + CM^2 - 2BC.CM.cos(2x).

Do tam giác BMC là tam giác cân tại M, nên CM = BM.

Thay CM = BM vào công thức trên, ta được: BM^2 = BC^2 + BM^2 - 2BC.BM.cos(2x).

Simplifying the equation, we get: BC = 2R.cos(x).

Applying the Law of Cosines in triangle ABC, we have: AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC.BC.cos(x).

Since AB = 2R, AC = R, and BC = 2R.cos(x), we can substitute these values into the equation above and simplify to get: cos(x) = 1/2.

Therefore, x = 60 degrees.

Substitute x = 60 degrees into the equation BM^2 = BC^2 + BM^2 - 2BC.BM.cos(2x), we get: BM.BC = 4R^2.

Thus, we have proved that BM.BC = 4R^2.