Cho đường tròn (O), đường kính AB bằng 2R, lấy điểm M (khác A,B) vẽ tiếp tuyến với (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại C

Để chứng minh BM.BC=4R^2, ta sẽ sử dụng định lí về tiếp tuyến và đường tròn.

Gọi D là giao điểm của đường thẳng BM và đường tròn (O).

Ta có: AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A, nên tam giác AOD vuông tại O.

Kẻ OD ⊥ AB tại E.

Ta có: AE là đường cao của tam giác AOB vuông tại O, nên AE = R.

Do đó, ta có: OD = 2R.

Vậy, ta có: BD = BM - MD = BM - OD = BM - 2R.

Theo định lí Euclid, ta có: BM.BD = AB^2 = (2R)^2 = 4R^2.

Nên: BM.(BM - 2R) = 4R^2.

Suy ra: BM.BC = 4R^2.

Vậy, ta đã chứng minh được BM.BC=4R^2.