a) Ta có:
$\angle A = 90^{\circ}$ (tam giác ABC vuông tại A)
$\angle AIN = 90^{\circ}$ (IN vuông góc với BC)
$\angle ANI = \angle BAC$ (cùng chắn với $\angle BAC$)
$\angle A = \angle A$ (cùng chắn với $\angle A$)

Vậy theo góc - góc, ta có $\triangle AACB \sim \triangle ANIB$.

b) Ta có $AB = 6cm$ và $AN = \frac{AB}{2} = 3cm$ (do 1 là trung điểm của AB).

Với $\triangle ANI$, ta có:
$\frac{NI}{AN} = \frac{BC}{AB}$
$\frac{NI}{3} = \frac{BC}{6}$
$NI = \frac{BC}{2}$

Với $\triangle ABC$, ta có:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$8^2 = 6^2 + BC^2$
$BC^2 = 64 - 36$
$BC^2 = 28$
$BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Vậy $BC = 2\sqrt{7} cm$ và $BN = \frac{BC}{2} = \sqrt{7} cm$.