Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB và góc BQI = góc ECI 

a) Ta có:
\(\angle BQI = \angle ECI\) (do \(MN \parallel EQ\))
\(\angle BQI = \angle MHN\) (do \(MN \parallel IH\))
\(\angle ECI = \angle MHC\) (do \(MN \parallel EC\))
\(\angle MHN = \angle MHC\) (do \(MN \parallel IH\))

Do đó, ta có: \(\angle BQI = \angle ECI = \angle MHN = \angle MHC\)

Vậy tam giác \(AMN\) đồng dạng với tam giác \(ACB\).

b) Ta có: \(\angle ICQ = \angle IEC\) (do \(MN \parallel EQ\))
\(\angle ICQ = \angle ICB\) (do \(IC \parallel MN\))
\(\angle IEC = \angle IBC\) (do \(IC \parallel MN\))

Do đó, ta có: \(\angle ICQ = \angle IEC = \angle IBC\)

Vậy tam giác \(ICQ\) đồng dạng với tam giác \(IEB\).

Áp dụng định lý Euclid trong tam giác đồng dạng, ta có:
\(\frac{IQ}{IC} = \frac{IE}{IB}\)
\(\Rightarrow IQ \cdot IB = IC \cdot IE\)
\(\Rightarrow IQ \cdot IE = IC^2\)

Vậy ta đã chứng minh được \(IQ \cdot IE = IC^2\).