Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đây, M là trung điểm của cạnh BC, Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với (SAM),

a) Ta có:
- Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên AM là đường trung bình của tam giác ABC nên AM vuông góc với BC và AM = MC.
- Vì cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
- Do đó, ta có (SAM) vuông góc với mặt phẳng (ABC).
- Vì AM vuông góc với BC nên BC cũng vuông góc với (SAM).

b) Gọi I là giao điểm của SB và AM. Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM, hay là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng SB.

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng SB. Ta có:
- Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA vuông góc với đường thẳng SB.
- Vì SA vuông góc với mặt phẳng (SAM) nên SA cũng vuông góc với đường thẳng AM.
- Do đó, ta có SA vuông góc với mặt phẳng (SAM).
- Vậy, ta có HI vuông góc với SB và HI vuông góc với AM.

Khi đó, ta có:
\[HI = \frac{SB \cdot AM}{\sqrt{SB^2 + AM^2}} = \frac{2a \cdot a}{\sqrt{(2a)^2 + a^2}} = \frac{2a^2}{\sqrt{5a^2}} = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}a.\]

Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM là \(\frac{2}{\sqrt{5}}a\).