1) Ta có:
$\angle OMA = \angle OAM$ (do MA là tiếp tuyến của đường tròn (O;R))
$\angle OMB = \angle OBM$ (do MB là tiếp tuyến của đường tròn (O;R))
$\angle OAM = \angle OBM$ (cùng bằng góc ngoại tiếp)
Do đó, tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra tứ giác OAMB là tứ giác điều hòa.
Vậy bốn điểm M, A, O, B thuộc một đường tròn.

2) Gọi E là hình chiếu của O lên OB. Ta có:
$\angle OME = 90^\circ$ (do AD là đường kính của đường tròn)
$\angle OME = \angle OCE$ (cùng bằng góc nội tiếp)
$\angle OCE = \angle OEB$ (do CE song song với AD)
Do đó, tam giác OME đồng dạng với tam giác OEB (cân)
Từ đó, ta có:
$\frac{OB}{OE} = \frac{OM}{OE} = \frac{2OM}{OM} = 2$
$\Rightarrow OB.OE = \frac{1}{2} * OM^2$

3) Ta có:
$\angle COI = \angle MOI$ (cùng bằng 90 độ)
$\angle COI = \angle EOM$ (do tam giác OME đồng dạng với tam giác OEB)
$\angle EOM = \angle IME$ (do I là trung điểm của MO)
Do đó, tam giác COI đồng dạng với tam giác IME.
Từ đó, ta có:
$\angle CEM = \angle IDM = 90^\circ$
Vậy tam giác IME đồng dạng với tam giác COI và CE vuông góc MD.