Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao, trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác AHC vuông tại H. Do HD = HA nên tam giác AHD cũng vuông tại H. Vậy ta có \( \angle AHD = 90^\circ \).

Do đó, ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle AHD = 90^\circ \), suy ra AHB và AHD cùng chứa góc vuông nên chúng đồng quy, tức là AD song song với BC.

b) Ta có \( \angle AHC = 90^\circ \) và \( \angle DHC = 90^\circ \) nên tam giác AHC và DHC đều vuông tại H.

Do HD = HA nên tam giác AHD cân tại A. Vậy ta có \( \angle AHD = \angle ADH \).

Vậy ta có \( \angle AHC = \angle DHC \) và \( \angle AHD = \angle ADH \), từ đó suy ra tam giác AHC = tam giác DHC.

c) Ta có AD // BC nên theo định lí cắt góc bên, ta có \( \angle ADE = \angle ABC \).

Vì AD // BC nên ta có \( \angle ADE = \angle ADB = \angle ABC \), suy ra tam giác ADE cân tại A.

Do đó, ta có DE = DA = AB.

Vì DE = AB nên tam giác ADE vuông tại E.

Vậy ta đã chứng minh được DE = AB và AE vuông góc CD.